Y'－2Y=E的X次方.求微分方程的通解

Question

Y'－2Y=E的X次方.求微分方程的通解

Answer 1

dy/dx-2y=e^x
(1)先求齐次微分方程dy/dx-2y=0的通解.该方程的特征根满足λ-2=0,得λ=2
故齐次微分方程通解y=Ce^(2x)
(2)再求非齐次微分方程特解.定义微分运算d/dx=D,1/D=∫,本式中L(D)=D-2,则特解y*有(D-2)y*=e^x.故y*=1/(D-2) e^x
根据公式：当L(k)≠0时,1/L(D) e^(kx)=e^(kx)/L(k)
本题中,k=1,故有y*=1/(D-2) e^x=e^x/(1-2)=-e^x
综合上述,微分方程的解y(x)=y+y*=Ce^(2x)-e^x