已知（1，3）是曲线y=x3+ax2+bx+c的拐点，并且曲线在x=2处有极值，求出a，b，c的值，并画出此曲线的图形．

Question

已知 （1，3）是曲线y=x³+ax²+bx+c的拐点，并且曲线在x=2处有极值，求出a，b，c的值，并画出此曲线的图形．

Answer 1

由于y′=3x²+2ax+b，y″=6x+2a，由已知条件可得y（1）=3，y′（2）=0，y″（1）=0
即以下方程组

1+a+b+c=3

12+4a+b=0

6+2a=0

解
得 a=-3，b=0，c=5．
由于y′=3x²-6x，令y′=0，解得 x=0，2
由于y″=6x-6，解得 x=1．
于是列表，得：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
y′	+	0				0	+
y″	-		-	0	+		+
y	凸	5 （极大）	凸	3  （拐点）	凹	1  （极小）	凹

如图：