求定积分的时候,求出来的常数C,什么时候是为LnC的最近做题有点多,发觉有些题的出来的结果是+C,有些是lnC的,哪一类的题目是加上lnC的?

Question

求定积分的时候,求出来的常数C,什么时候是为LnC的
最近做题有点多,发觉有些题的出来的结果是+C,有些是lnC的 ,哪一类的题目是加上lnC的?

Answer 1

不定积分的结果都是加C,写成lnC一般是为了后续的化简单方便（通常出现在解微分方程时）.
比如你的例子：
(1/y)dy=(1/x)dx
标准做法：
两边积分得：ln|y|=ln|x|+C
因此：ln|y|=ln|xe^C|,y=±xe^C
由于C是任意常数,±e^C也就是个常数,设为C1,则y=C1x
以上为标准过程,但是你会发现,在后面的变换中需要换常数,设±e^C=C1,有些麻烦,如果在一开始的时候,把C换成lnC,后面就不用换常数了.（另一方面,习惯上解微分方程时不用加绝对值）于是过程可简写为：
(1/y)dy=(1/x)dx
两边积分得：lny=lnx+lnC,则lny=ln(Cx),得：y=Cx
这样过程是不是简捷多了?
因此lnC和C没有本质区别,只是为了后续的简便.
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