∫1到x(1/t)dt的积分是lnx,那1/x的积分是什么,两者有什么区别?

Question

∫1到x(1/t)dt的积分是lnx,那1/x的积分是什么,两者有什么区别?

Answer 1

你应该是不明白不定积分与定积分的区别与联系,讲解如下：
不定积分
∫ (1/x) dx = ln|x| + C
定积分
∫[1,x] (1/t) dt = ln|x| - ln1 = ln|x|
（由于此定积分的上限为变量x,所以叫做变上限函数）
不定积分与定积分的区别：
不定积分是求某个可积函数的原函数的运算,所得结果为被积函数的原函数族,原函数族中的函数各相差一个实数
定积分仅仅是一个实数,是某函数在某个路径上的分段路径与函数值乘积的无穷和
两者的意义完全不同
不定积分与定积分的联系：
牛顿—莱布尼茨公式具体阐述了定积分与不定积分的联系
若函数f(x)可积,且F(x)是它的一个原函数,即F(x)∈{ ∫ f(x) dx }
则f(x)在区间[a,b]上的定积分 ∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)
即将求解定积分的问题转化成了求解某函数的原函数的问题