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(2014•福建模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为等腰直角三角形,∠B=90°,D为棱BB1上一点,且面DA1C⊥面AA1C1C.(1)求证:D为棱BB1中点;(2)AA1AB为何值时,二面角A-A1D-C的平
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/342ac65c103853438c415aa29013b07ecb8088a3.jpg)
(1)求证:D为棱BB1中点;
(2)
AA1 |
AB |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:过点D作DE⊥A1C于E点,取AC的中点F,连BF,EF.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4b90f603738da97758a6109ab351f8198718e3f2.jpg)
∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C,面DA1C内的直线DE⊥A1C,
∴DE⊥面AA1C1C.
又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC,且△ABC为等腰三角形,∴BF⊥AC,
∴BF⊥面AA1C1C.由此知:DE∥BF,从而有D,E,F,B共面,
又BB1∥面AA1C1C,故有DB∥EF,从而有EF∥AA1,又点F是AC的中点,
所以DB=EF=
AA1=
BB1
所以D为棱BB1中点;
(2)延长A1D与直线AB相交于G,则CB⊥面AA1B1B
过B作BH⊥A1G于点H,由三垂线定理知,A1G⊥CH
由此可知∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角
设AA1=2b,AB=BC=a,则在直角△A1AG中,AB=BG;
在直角△DBG中,BH=
=
;
在直角△CHB中,tan∠CHB=
=
,
∵二面角A-A1D-C的平面角为60°,
∴
=tan60°=
∴
=
∴
=
.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4b90f603738da97758a6109ab351f8198718e3f2.jpg)
∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C,面DA1C内的直线DE⊥A1C,
∴DE⊥面AA1C1C.
又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC,且△ABC为等腰三角形,∴BF⊥AC,
∴BF⊥面AA1C1C.由此知:DE∥BF,从而有D,E,F,B共面,
又BB1∥面AA1C1C,故有DB∥EF,从而有EF∥AA1,又点F是AC的中点,
所以DB=EF=
1 |
2 |
1 |
2 |
所以D为棱BB1中点;
(2)延长A1D与直线AB相交于G,则CB⊥面AA1B1B
过B作BH⊥A1G于点H,由三垂线定理知,A1G⊥CH
由此可知∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角
设AA1=2b,AB=BC=a,则在直角△A1AG中,AB=BG;
在直角△DBG中,BH=
BD•BG |
DG |
b•a | ||
|
在直角△CHB中,tan∠CHB=
BC |
BH |
| ||
b |
∵二面角A-A1D-C的平面角为60°,
∴
| ||
b |
3 |
∴
2b |
a |
2 |
∴
AA1 |
AB |
2 |
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