（2014•诸暨市模拟）已知点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上一动点，且满足|PA|=2|PB|，设PD1与平面ABCD所成角为θ，则θ的最大值为（）A．π6B．π4C．π3D．π2

Question

（2014•诸暨市模拟）已知点P是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面上一动点，且满足|PA|=2|PB|，设PD₁与平面ABCD所成角为θ，则θ的最大值为（　　）

A．(π)/(6)
B．(π)/(4)
C．(π)/(3)
D．(π)/(2)

Answer 1

以B为原点，BC，BA，BB₁，分别为x、y、z轴建立空间坐标系，设P（x，y，z），A（0，2，0），|PA|=2|PB|，∴√((x−0)2+(y−2)2+(z−0)2)=√(x2+y2+z2)∴x2+(y+(2)/(3))2+z2＝(16)/(9)，∴点P的轨迹为：以点Q为球心，以半径为(4)/(3)的球与正方体表面的交线，即为如图的弧段EMG，GSF，FNE，
要使得PD₁与底面ABCD所成角最大，则PD₁与底面ABCD
的交点R与点D的距离最短，从而点P在弧段ENF上，故
点P在弧段ENF上，且在QD上．设正方体的边长为2，从而DQ=(10)/(3)−(4)/(3)＝2，从而tanθ最大值为1，故θ最大值为(π)/(4)．
故选B