如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）求证：AD1⊥平面CDA1B1；（2）求直线BD与平面CDA1B1所成的角．

Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求证：AD₁⊥平面CDA₁B₁；
（2）求直线BD与平面CDA₁B₁所成的角．

Answer 1

（1）在正方体中，AD₁⊥A₁D，（1分）
又A₁B₁⊥面ADD₁A₁，且AD₁⊂面ADD₁A₁，
∴AD₁⊥A₁B₁，（4分）
∵A₁D，A₁B₁在平面CDA₁B₁内，且相交，
∴AD₁⊥平面CDA₁B₁．（6分）
（2）过点B作BE⊥B₁C，交B₁C于点E，连接DE，（7分）
∵DE∥AD，AD₁⊥平面CDA₁B₁，
∴DE⊥平面CDA₁B₁，
∴∠BDE即为BD与面CDA₁B₁所成的角，（9分）
在Rt△DEB中，BE=(√(2))/(2)，BD=√(2)，
∴sin∠EBD＝(BE)/(BD)＝(1)/(2)，（11分），
∴直线BD与平面CDA₁B₁所成的角为30°．（12分）