在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是矩形且AB=2BC=2，侧面△ADE是正三角形且垂直于底面ABCD，F是AB的中点，AD的中点为O，求：（1）异面直线AE与CF所成的角的余弦值；（2）点O到平面EFC的距离；（3）二

Question

在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是矩形且AB=2BC=2，侧面△ADE是正三角形且垂直于底面ABCD，F是AB的中点，AD的中点为O，求：
（1）异面直线AE与CF所成的角的余弦值；
（2）点O到平面EFC的距离；
（3）二面角E-FC-D的正切值．

Answer 1

（1）取EB的中点G，连结FG，则FG∥AE，则∠GFC为AE与CF所成角，
∵侧面△ADE是正三角形且垂直于底面ABCD，底面ABCD是矩形，
∴AB⊥平面EAD．
∴AB⊥EA
∵AB=2BC=2，∴EB=√(EA2+AB2)=√(5)．
同理，EC=√(5)．
∴在△EBC中，CG=(√(7))/(2)．
又∵FG=(1)/(2)EA=(1)/(2)，CF=√(BC2+BF2)=√(2)．
∴cos∠CFG=<

作业帮用户 2017-10-01

问题解析

（1）取EB的中点G，连结FG，则FG∥AE，则∠GFC为AE与CF所成角，求出CG，CF的长，即可求异面直线AE与CF所成的角的余弦值；
（2）作CF⊥ER，过O作OH⊥ER且与ER交于点H，则OH⊥平面EFC，OH的长即为点O到平面EFC的距离，利用等面积，可求点O到平面EFC的距离；
（3）由（2）知，∠ERO即为二面角E-FC-D的平面角，利用正切函数，即可求二面角E-FC-D的正切值．

名师点评

本题考点：

二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．

考点点评：

本题考查空间角，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议

(√(2))/(4)