如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且AB=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥PD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角的正切值为62．①求PA的长度；

Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且AB=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥PD；
（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角的正切值为(√(6))/(2)．
①求PA的长度；
②当H为PD的中点时，求异面直线PB与EH所成角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．
∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．又BC∥AD，∴AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE．
而PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD．
（2）①连接EH．由（1）知AE⊥平面PAD，∴∠EHA为EH与平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE=√(3)，而tan∠EHA=(AE)/(AH)=(√(3))/(AH)，
∴当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，tan∠EHA=(√(3))/(AH)=(√(6))/(2)，因此AH=√(2)．又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=AD=2．
②取PA中点F，连BF，HF，则HF∥AD，且HF=(1)/(2)AD，而BC∥AD，BC=AD，∴BE=HF，BE∥HF．
故四边形BEHF是平行四边形，则EH∥BF，所以异面直线PB与EH所成的角是∠PBF或其补角．由计算得：PB=2√(2)，BF=√(5)，PF=1，
故cos∠PBF=(PB2+BF2-PF2)/(2PB•BF)=(3√(10))/(10)，
故异面直线PB与EH所成角的余弦值是(3√(10))/(10)．