同底的两个正三棱锥内接于同一个球，已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R，设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α，β，则tan（α+β）的值是．

Question

同底的两个正三棱锥内接于同一个球，已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R，设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α，β，则tan（α+β）的值是___．

Answer 1

如图，取AB的中点M，连接PM，QM，则PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB
∴∠PMC是侧面PAB与底面所成二面角的平面角，∠QMC是侧面QAB与底面所成二面角的平面角，
∴∠PMC=α，∠QMC=β，
设，OR=h，则MR=(1)/(3)CM=(√(3))/(6)a，CR=(√(3))/(3)a，R²-h²=CR²=(1)/(3)a²，
∵tanα=(R-h)/(MR)，tanβ=(R+h)/(MR)
∴tan（α+β）=(2R)/(MR-(a2)/(3MR))=-(4√(3)R)/(3a)，
故答案为：-(4√(3)R)/(3a)．