如图，一个底面半径为3的圆柱被与其底面所成角为30°的平面所截，其截面是一个椭圆C．（Ⅰ）求该椭圆C的长轴长；（Ⅱ）以该椭圆C的中心为原点，长轴所在的直线为x轴，建立平面直角坐

Question

如图，一个底面半径为√(3)的圆柱被与其底面所成角为30°的平面所截，其截面是一个椭圆C．
（Ⅰ）求该椭圆C的长轴长；
（Ⅱ）以该椭圆C的中心为原点，长轴所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求椭圆C的任意两条互相垂直的切线的交点P的轨迹方程；
（Ⅲ）设（Ⅱ）中的两切点分别为A，B，求点P到直线AB的距离的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）：∵圆柱的底面半径为√(3)，∴椭圆的短半轴b=√(3)，
又∵椭圆所在平面与圆柱底面所成角为30°
∴cos30°=(√(3))/(a)=(√(3))/(2)，解得a=2，
∴该椭圆C的长轴长2a=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C的方程为：(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．
①当两切线l₁，l₂的斜率有一条不存在（另一条斜率必为0）时，点P（±2，±√(3)）（四个）；
②当两切线l₁，l₂的斜率均存在且不为0时，
设l₁：y=kx+m，l2：y＝−(1)/(k)x+n，设P（x₀，y₀），
则m=y₀-kx₀，n=y0+(1)/(k)x0，
联立

作业帮用户 2017-10-09

问题解析

（Ⅰ）根据圆柱的直径算出椭圆的短轴长，再由二面角的平面角等于30°，利用三角函数定义可算出椭圆的长轴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C的方程为：(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．当两切线l₁，l₂的斜率有一条不存在（另一条斜率必为0）时，点P（±2，±√(3)）（四个）；当两切线l₁，l₂的斜率均存在且不为0时，设l₁：y=kx+m，l2：y＝−(1)/(k)x+n，设P（x₀，y₀），则m=y₀-kx₀，n=y0+(1)/(k)x0，由此能求出动点P的轨迹方程．
（Ⅲ）设动点P（x₀，y₀），则x02+y02＝7，设两切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设过A（x₁，y₁）的切线y-y₁=k₁（x-x₁），代入椭圆方程得：（3+4k12）x²+8k₁（y₁-k1 x1）x+4（y₁-k₁x₁） 2 -12=0，由此能求出直线AB的方程为(x0x)/(4)+(y0y)/(3)＝1，从而能求出点P到直线AB的距离的最大值和最小值．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查椭圆长轴长的求法，考查交点的轨迹方程的求法，考查点到直线的距离的最值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．

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