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如图,ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱.(Ⅰ)求证:BD⊥平面ACC1A1;(Ⅱ)]若二面角C1-BD-C的大小为60o,求异面直线BC1与AC所成角的大小.
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如图,ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面ACC1A1;
(Ⅱ)]若二面角C1-BD-C的大小为60o,求异面直线BC1与AC所成角的大小.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面ACC1A1;
(Ⅱ)]若二面角C1-BD-C的大小为60o,求异面直线BC1与AC所成角的大小.
▼优质解答
答案和解析
解法一:
(Ⅰ)欲证明直线与平面垂直,可以先证明直线与直线垂直,由BD⊥CC1,BD⊥AC可得BD⊥平面ACC1A1.
(Ⅱ)先将二面角C1-BD-C的大小为60o,转化为对应的平面角的大小,根据三垂线定理可知:∠C1OC∠是二面角C1-BD-C的平面角,∴∠C1OC=60o,接着就可以求解异面直线BC1与AC所成角的大小.求异面直线所成的角,可用几何法,其基本解题思路是“异面化共面,认定再计算”,即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中,结合余弦定理来求.连接A1B.∵A1C1∥AC,∴∠A1C1B是BC1与AC所成的角.
解法二:
在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中,也可以建立空间直角坐标系,设定参量求解.这种解法的好处就是:1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理,因为这些可以用向量方法来解决.2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出,因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可.建立空间直角坐标系D-xyz,设AD=a,DD1=b,则有D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C1(0,a,b)
(Ⅰ)、,
∴BD⊥AC,BD⊥CC1,又∵AC,CC1⊂平面ACC1A1,且AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1A1.
(Ⅱ)设BD与AC相交于O,连接C1O,则点O坐标为,先将二面角C1-BD-C的大小为60o,转化为对应的平面角的大小,通过计算可知:∠C1OC∠是二面角C1-BD-C的平面角,∴∠C1OC=60o,接着就可以求解异面直线BC1与AC所成角的大小.
【解析】
法一:
(Ⅰ)∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,
∴CC1⊥平面ADCD,
∴BD⊥CC1
∵ABCD是正方形∴BD⊥AC
又∵AC,CC1⊂平面ACC1A1,且AC∩CC1=C,
∴BD⊥平面ACC1A1.
(Ⅱ)设BD与AC相交于O,连接C1O.
∵CC1⊥平面ADCD
∴BD⊥AC,
∴BD⊥C1O,
∴∠C1OC∠是二面角C1-BD-C的平面角,
∴∠C1OC=60o.连接A1B.
∵A1C1∥AC,
∴∠A1C1B是BC1与AC所成的角.
设BC=a,则
CO=2a.
在△A1BC1中,由余弦定理得cosA1C1B=,
∴∠A1C1B=arccos'
∴异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos.
法二:
(Ⅰ)建立空间直角坐标系D-xyz,如图.
设AD=a,DD1=b,则有D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C1(0,a,b),
∴=(0,0,b),∴=0,
∴BD⊥AC,BD⊥CC1,
又∵AC,CC1⊂平面ACC1A1,且AC∩CC1=C,
∴BD⊥平面ACC1A1.
(Ⅱ)设BD与AC相交于O,连接C1O,
则点O坐标为,
∵=0,∴BD⊥C1O,又∵BD⊥CO,
∴∠C1OC是二面角C1BDC的平面角,∴∠C1OC=60°,
∵tanC1OC=,∴a.
∵=(-a,0,b),
∴cos,
∴异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos.
(Ⅰ)欲证明直线与平面垂直,可以先证明直线与直线垂直,由BD⊥CC1,BD⊥AC可得BD⊥平面ACC1A1.
(Ⅱ)先将二面角C1-BD-C的大小为60o,转化为对应的平面角的大小,根据三垂线定理可知:∠C1OC∠是二面角C1-BD-C的平面角,∴∠C1OC=60o,接着就可以求解异面直线BC1与AC所成角的大小.求异面直线所成的角,可用几何法,其基本解题思路是“异面化共面,认定再计算”,即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中,结合余弦定理来求.连接A1B.∵A1C1∥AC,∴∠A1C1B是BC1与AC所成的角.
解法二:
在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中,也可以建立空间直角坐标系,设定参量求解.这种解法的好处就是:1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理,因为这些可以用向量方法来解决.2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出,因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可.建立空间直角坐标系D-xyz,设AD=a,DD1=b,则有D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C1(0,a,b)
(Ⅰ)、,
∴BD⊥AC,BD⊥CC1,又∵AC,CC1⊂平面ACC1A1,且AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1A1.
(Ⅱ)设BD与AC相交于O,连接C1O,则点O坐标为,先将二面角C1-BD-C的大小为60o,转化为对应的平面角的大小,通过计算可知:∠C1OC∠是二面角C1-BD-C的平面角,∴∠C1OC=60o,接着就可以求解异面直线BC1与AC所成角的大小.
【解析】
法一:
(Ⅰ)∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,
∴CC1⊥平面ADCD,
∴BD⊥CC1
∵ABCD是正方形∴BD⊥AC
又∵AC,CC1⊂平面ACC1A1,且AC∩CC1=C,
∴BD⊥平面ACC1A1.
(Ⅱ)设BD与AC相交于O,连接C1O.
∵CC1⊥平面ADCD
∴BD⊥AC,
∴BD⊥C1O,
∴∠C1OC∠是二面角C1-BD-C的平面角,
∴∠C1OC=60o.连接A1B.
∵A1C1∥AC,
∴∠A1C1B是BC1与AC所成的角.
设BC=a,则
CO=2a.
在△A1BC1中,由余弦定理得cosA1C1B=,
∴∠A1C1B=arccos'
∴异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos.
法二:
(Ⅰ)建立空间直角坐标系D-xyz,如图.
设AD=a,DD1=b,则有D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C1(0,a,b),
∴=(0,0,b),∴=0,
∴BD⊥AC,BD⊥CC1,
又∵AC,CC1⊂平面ACC1A1,且AC∩CC1=C,
∴BD⊥平面ACC1A1.
(Ⅱ)设BD与AC相交于O,连接C1O,
则点O坐标为,
∵=0,∴BD⊥C1O,又∵BD⊥CO,
∴∠C1OC是二面角C1BDC的平面角,∴∠C1OC=60°,
∵tanC1OC=,∴a.
∵=(-a,0,b),
∴cos,
∴异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos.
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