如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为45°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，∠COD=60°．（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求轴OP与平面PCD所成的

Question

如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为45°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，∠COD=60°．

（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）求轴OP与平面PCD所成的角的正切值．

Answer 1

（1）证明：设面PAB∩面PCD=直线m，
∵AB∥CD，且CD⊂平面PCD，∴AB∥面PCD，得AB∥直线m，
∵AB⊂面ABCD，∴直线m∥面ABCD．
∴面PAB与面PCD的公共交线平行底面ABCD；
（2） 设CD的中点为M，连接OM、PM，
∵OC=OD，∴OM⊥CD，
设OD=r，则OM=(√(3))/(2)r，
又OP⊥平面OCD，∴OP⊥CD，
又OP∩OM=O，∴CD⊥平面OPM，
过O作OH⊥PM，垂足为H，则CD⊥OH，
又OH∩PM=H，∴OH⊥平面PCD，
∴OP在平面PCD内的射影为PH，
则∠OPH为轴OP与平面PCD所成的角的平面角，
又母线与底面所成的角为45°，即∠ODP=45°，∴OP=OD=r，
在直角△POM中，tan=∠OPM=(√(3))/(2)，
而∠OPM=∠OPH，∴轴OP与平面PCD所成的角的正切值为(√(3))/(2)．