如图；在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是CD的中点．（1）如图中与BA1是异面直线的条数有．（2）求BA1与AD1的所成角的大小．（3）求AE与BA1的所成角的大小．

Question

如图；在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是CD的中点．
（1）如图中与BA₁是异面直线的条数有．
（2）求BA₁与AD₁的所成角的大小．
（3）求AE与BA₁的所成角的大小．

Answer 1

（1）∵棱BC，BB₁，BA，A₁A，A₁D₁，A₁B₁与BA₁是相交，
∴与之是异面直线的棱有6条；
（2）连接BC₁，C₁A₁，则BC₁∥AD₁，
则∠BC₁A₁是BA₁与AD₁的所成角．
又△∠BC₁A₁是等边三角形，则∠BC₁A₁=60度，
所求BA₁与AD₁的所成角的大小是60度．
（3）取DD₁的中点F，由E是CD的中点，则EF∥CD₁∥BA₁，
则∠FEA是AE与BA₁的所成角．
设AB=2，则AE=√(5)，EF=√(2)，AF=√(5)，
则cos∠FEA=(√(10))/(10)．
即AE与BA₁的所成角的大小是arccos(√(10))/(10)．