如图所示，已知，PA垂直圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAC；（Ⅱ）若BC=1，AB=2，PC=2，求二面角P-BC-A的平面角大小．

Question

如图所示，已知，PA垂直圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点．
（Ⅰ） 求证：平面PBC⊥平面PAC；
（Ⅱ）若BC=1，AB=√(2)，PC=2，求二面角P-BC-A的平面角大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵PA垂直圆O所在平面，BC⊂直圆O所在平面，
∴BC⊥PA，
∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面PAC，
∴AC⊥BC，PC⊥BC，
∴∠ACP是二面角P-BC-A的平面角，
∵BC=1，AB=√(2)，PC=2，AB是圆O的直径，
∴AC=√(AB2−BC2)=√(2−1)=1，
∵PA垂直圆O所在平面，∴PA⊥AC，
∴cos∠ACP=(AC)/(PC)=(1)/(2)，
∴∠ACP=60°，
∴二面角P-BC-A的平面角大小为60°．