如图，在三棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，△PAD是等边三角形，PQ是∠APD线的角平分线，点M是线段PC的一个靠近点P的一个三分点，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：PA∥平面MQB（2）求PB

Question

如图，在三棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，△PAD是等边三角形，PQ是∠APD线的角平分线，点M是线段PC的一个靠近点P的一个三分点，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：PA∥平面MQB
（2）求PB与平面PAD所成角大小
（3）求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

（1）证明：连接AC交QB与E，
∵AQ∥BC，且(AQ)/(BC)=(1)/(2)，
∴(AE)/(EC)=(1)/(2)，
∵M是线段PC的一个靠近点P的一个三分点，
∴(PM)/(MC)=(1)/(2)，
∴PA∥ME，
∵PA⊄平面MGB，ME⊂平面MGB，
∴PA∥平面MGB．
（2）连接BD，
∵AD=AB，∠BAD=60°，
∴AB=BD，
∵△PAD是等边三角形，PQ是∠APD线的角平分线，
∴AQ=QD，
∴QB⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD，
∴∠BPQ为所求角，
∵△PAD，△ABD均为正三角形，且边长相等，
∴PQ=QB，
又∵PQ⊥QB，
∴∠BPQ=45°．

（3）∵QB⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，
∴QB⊥PA，
∵PA∥EM，
∴QB⊥ME，
做EF∥AD，连结ME，则EF⊥QB，
∴∠MEF为二面角M-BQ-C的平面角，
∵ME∥PA，EF∥AD，M为三等分点，
∴F也是CD的一个三等分点，
∴ME=(2)/(3)PA，EF=(2)/(3)AD，MF=(2)/(3)PD，
∵PA=AD=PD，
∴EM=EF=MF，即∠MEF=60°．