已知函数f（x）=ax-x2-lnx，若函数f（x）存在极值，且所有极值之和小于5+ln2，则实数a的取值范围是．

Question

已知函数f（x）=ax-x²-lnx，若函数f（x）存在极值，且所有极值之和小于5+ln2，则实数a的取值范围是___．

Answer 1

f（x）=-(2x2-ax+1)/(x)，
∵f（x）存在极值，
∴f′（x）=0在（0，+∞）上有根，
即方程2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根．
设方程2x²-ax+1=0的两根为x₁，x₂，
由韦达定理得：

x1•x2=(1)/(2)>0

x1+x2=(a)/(2)

，
所以方程的根必为两不等正根．
f（x₁）+f（x₂）=a（x₁+x₂）-（x₁²+x₂²）-（lnx₁+lnx₂）
=(a2)/(2)-(a2)/(4)+1-ln(1)/(2)<5-ln(1)/(2)，∴a²<16，-4<a<4，
由△=a²-8>0，解得：a>2√(2)，
故所求a的取值范围为（2√(2)，4），
故答案为：（2√(2)，4）