三角函数求极值求极值：tan^2(θ/2)/tanθ=cosθ(1-cosθ)/sinθ(1+sinθ)貌似是π/3,求化简或推导证明（详细有加分）

Question

三角函数求极值
求极值：
tan^2(θ/2)/tanθ=cosθ(1-cosθ)/sinθ(1+sinθ)
貌似是π/3,求化简或推导证明（详细有加分）

Answer 1

tan^2(θ/2)/tanθ=tan(θ/2)*(1-tan^2(θ/2))/2
令x=tan(θ/2),则我们转而求x(1-x^2)/2的极值
令f（x）=x(1-x^2)/2,对f(x)求一阶倒数有
f'(x)=（-3x^2+1）/2,我们知道当f'(x)=0时的x值为驻点,这样解得x=+(-)(根号3）/3=x_0(-x_0)(便于书写),而当x>(或0,这样我们可以肯定当
x=+(-)(根号3）/3时,f（x）有极值,也就是
tan(θ/2)=+(-)(根号3）/3,θ=pi/3 +2k*pi或5pi/3+2k*pi,k为整数.此时极值为+(-)(根号3）/9.