设函数f（x）=x2-2x+1+alnx有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，则：（1）求实数a的范围；（Ⅱ）求f（x2）的范围．

Question

设函数f（x）=x²-2x+1+alnx有两个极值点x₁、x₂，且x₁＜x₂，则：
（1）求实数a的范围；
（Ⅱ）求f（x₂）的范围．

Answer 1

（1）∵f′（x）=2x-2+(a)/(x)=(2x2−2x+a)/(x)，（x＞0）
又函数f（x）=x²-2x+1+alnx有两个极值点x₁、x₂，
∴f′（x）=0有两个不同的根，
∴方程2x²-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，即a＜(1)/(2)，
∵x₁+x₂=1，x₁•x₂=(a)/(2)＞0，
∴a＞0，
∴a的取值范围是（0，(1)/(2)）．
（2）∵0＜x₁＜x₂，x₁+x₂=1，
∴(1)/(2)＜x₂＜1，a=2x₂-2x22，
∴f（x₂）=x22-2x₂+1+（2x₂-2x22）lnx₂，
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中(1)/(2)＜t＜1，
则g′（t）=2（1-2t）lnt，
当t∈（(1)/(2)，1）时，g′（t）＞0，
∴g（t）在（(1)/(2)，1）上是增函数，
∴g（t）＞g（(1)/(2)）=(1−2ln2)/(4)，
∴g（t）＜g（1）=0，
∴f（x₂）的取值范围是：（(1−2ln2)/(4)，0）．