已知a∈R，若f（x）=（x+）ex在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（）A．a＞0B．a≤1C．a＞1D．a≤0

Question

已知a∈R，若f（x）=（x+）e^x在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（　　）

A．a＞0  B．a≤1  C．a＞1  D．a≤0

Answer 1

A【考点】利用导数研究函数的极值．

【分析】求导数，分类讨论，利用极值、函数单调性，即可确定a的取值范围．

【解答】∵f（x）=（x+）e^x，

∴f′（x）=（）e^x，

设h（x）=x³+x²+ax﹣a，

∴h′（x）=3x²+2x+a，

a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为增函数，

∵h（0）=﹣a＜0，h（1）=2＞0，

∴h（x）在（0，1）上有且只有一个零点x₀，使得f′（x₀）=0，

且在（0，x₀）上，f′（x）＜0，在（x₀，1）上，f′（x）＞0，

∴x₀为函数f（x）在（0，1）上唯一的极小值点；

a=0时，x∈（0，1），h′（x）=3x²+2x＞0成立，函数h（x）在（0，1）上为增函数，

此时h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，

即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值；

a＜0时，h（x）=x³+x²+a（x﹣1），

∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，

即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值．

综上所述，a＞0．

故选：A．