a取何值时，线性方程组x1+2x2+x3＝12x1+3x2+(a+2)x3＝3x1+ax2−2x3＝0无解？有解？并在有无穷解时求出其全部解．

Question

a取何值时，线性方程组

x1+2x2+x3＝1

2x1+3x2+(a+2)x3＝3

x1+ax2−2x3＝0

无解？有解？并在有无穷解时求出其全部解．

Answer 1

由题意，

.

A

＝

1	2	1	1
2	3	a+2	3
1	a	−2	0

1	2	1	1
0	−1	a	1
0	a−2	−3	−1

1	2	1	1
0	−1	a	1
0	0	(a−3)(a+1)	a−3

1	0	1+2a	3
0	1	−a	−1
0	0	(a−3)(a+1)	a−3

∴①当（a-3）（a+1）=0，但a-3≠0时，即a=-1时，
由于r(A)＝2＜3＝r(

.

A

)，此时方程组无解；
②当（a-3）（a+1）≠0且a-3≠0时，即a≠3且a≠-1时，
由于r(A)＝r(

.

A

)＝3，此时方程组有唯一解；
③当（a-3）（a+1）=0，且a-3=0时，即a=3时，
由于r(A)＝r(

.

A

)＝2＜3，此时方程组有无穷解．
此时

.

A

1	0	7	3
0	1	−3	−1
0	0	0	0

∴取x₃为自由变量，得

x1＝3−7x3

x2＝−1+3x3

令x₃=k（任意常数），解得通解

x1

x2

x3

＝

3

−1

0

+k

−7

3

1