为什么二阶常系数微分方程只要确定2个非线性相关的解就可以，有没有可能存在第3个。非齐次的时候为什么只要一个特解，如果还有一个没法用这个特解加通解表示的特解呢？

Question

为什么二阶常系数微分方程只要确定2个非线性相关的解就可以，有没有可能存在第3个。非齐次的时候为什么只要一个特解，如果还有一个没法用这个特解加通解表示的特解呢？

Answer 1

n阶齐次常微分方程可以证明存在形如y=c1·y1(x)+c2·y2(x)+····+cn·yn(x)的解，
意思是 n阶齐次常微分方程所有的解 均可以 由它的n个非线性相关解 线性组合构造；
而 n阶非齐次常微分方程的所有解 可以由 n阶齐次常微分方程所有的解 的n个非线性相关解线性组合+一个特解 构造；
所以，回答您的问题，
只要确定两个线性无关的解，就可以构造这个二阶齐次常微分方程的所有解，当然可能存在第3个，而且不知道会有多个解，但只要两个就可以全部表示；
非齐次的时候只要一个特解和齐次解，就可以构造通解，不可能 存在这个特解加通解无法表示的特解
证明很长，书上有