求微分方程特解(y^3)y''+1=0,x=1时Y=1,X=1时Y'=0还有一题是Y''=3Y^(1/2),,这题方法应该跟上面的差不多是吧麻烦给个详细的过程,谢谢

Question

求微分方程特解
(y^3)y''+1=0,x=1时Y=1,X=1时Y'=0
还有一题是Y''=3Y^(1/2),,这题方法应该跟上面的差不多是吧
麻烦给个详细的过程,谢谢

Answer 1

令y'＝P(y)，则y''＝p×dp/dy，原微分方程化为：y^3×pp'＋1＝0，即pdp＝－y^(-3)dy，两边积分得
1/2×p^2＝1/2×y^(-2)＋1/2×C1
由x＝1时，y＝1，p＝y'＝0得C1＝－1，所以p^2＝y^(-2)－1，y'＝p＝±√(1-y^2)/y
分离变量：±y/√(1-y^2)dy＝dx
两边积分：±√(1-y^2)＝x＋C2
由x＝1时y＝1得C2＝－1，所以：±√(1-y^2)＝x－1
两边平方得原微分方程的特(x-1)^2＋y^2＝1