y''+y=sinx这个二阶非齐次微分方程的疑问!1方程最后特解y*=Acosx+Bsinx(注：A,B为常数)请问,原方程右边没有cosx这一项,那特解中的“A”是不是就等于“0”?2如果方程为y‘’+y=sinx+cos2x如何分析?

Question

y''+y=sinx这个二阶非齐次微分方程的疑问!
1 方程最后特解y*=Acosx+Bsinx(注：A,B为常数)请问,原方程右边没有cosx这一项,那特解中的“A”是不是就等于“0”?
2 如果方程为y‘’+y=sinx+cos2x 如何分析?

Answer 1

理论上说,对一个二阶微分方程,要化为非微分方程,只要2次求积分就行了.而f(x)的积分为 ∫(x)dx +c ,也就是说每次积分会引入一个系数c,2次积分自然会引入2个系数.这就是解中A B 的来历.也就是说,A B是一个与x无关的数仅此而已.
这个特解可以理解为：y*=Acosx+Bsinx （A ,B ∈R）
第二个显然,可以用两角和把sinx+cos2x化为sinα 然后就和第一题一样求解了.