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高数题一道求微分方程x^2y'+xy=y^2满足初始条件y（1）=1的特解.
题目详情
高数题一道
求微分方程x^2y'+xy=y^2满足初始条件y（1）=1的特解.
求微分方程x^2y'+xy=y^2满足初始条件y（1）=1的特解.
▼优质解答
答案和解析
同时除以x^2*y^2
1/y^2*y'+1/yx=1/x^2
令1/y=u
则d(1/y)/dx=du/dx
即1/y^2*y'=-du/dx
带入：
-du/dx+u/x=1/x^2
一阶非齐次线性方程
使用公式可得：
u=e^(∫1/xdx)(C-∫e^(∫-1/xdx)1/x^2dx）
=x（C+1/2x^2)
带入x=1/y
得xy（C+1/2x^2)=1
y（1）=1
C+1/2=1
C=1/2
特解
xy（1/2+1/2x^2)=1
1/y^2*y'+1/yx=1/x^2
令1/y=u
则d(1/y)/dx=du/dx
即1/y^2*y'=-du/dx
带入：
-du/dx+u/x=1/x^2
一阶非齐次线性方程
使用公式可得：
u=e^(∫1/xdx)(C-∫e^(∫-1/xdx)1/x^2dx）
=x（C+1/2x^2)
带入x=1/y
得xy（C+1/2x^2)=1
y（1）=1
C+1/2=1
C=1/2
特解
xy（1/2+1/2x^2)=1
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