求微分方程的通解y"+y=cosx想问下具体的.）∵齐次方程y"+y=0的特征方程是r²+1=0,而特征根是r=±i（复数根）∴齐次方程y"+y=0的通解是y=C1cosx+C2sinx(C1,C2是积分常数)∵设y"+y=cosx的特解为y=Axcosx

Question

求微分方程的通解 y"+y=cosx 想问下具体的.
）∵齐次方程y"+y=0的特征方程是r²+1=0,而特征根是r=±i （复数根）
∴齐次方程y"+y=0的通解是y=C1cosx+C2sinx (C1,C2是积分常数)
∵设y"+y=cosx的特解为y=Axcosx+Bxsinx
代入原方程y"+y=cosx,整理得-2Asinx+2Bcosx=cosx
==>-2A=0,2B=1
==>A=0,B=1/2
∴ y"+y=cosx的一个特解是y=xsinx/2
故微分方程y"+y=cosx的通解是y=C1cosx+C2sinx+xsinx/2 (C1,C2是积分常数).
设y"+y=cosx的特解为y=Axcosx+Bxsinx
代入原方程y"+y=cosx,整理得-2Asinx+2Bcosx=cosx
就带入这里不懂.怎么整理成-2Asinx+2Bcosx=cosx
我怎么带 都带不出这样的结果.

Answer 1

y"+y=cosx的特解为y=Axcosx+Bxsinx,故y′=Acosx-Axsinx+Bsinx+Bxcosx
y〃=-Asinx-Asinx-Axcosx+Bcosx+Bcosx-Bxsinx=-2Asinx+2Bcosx-Axcosx-Bxsinx
故y〃+y=-2Asinx+2Bcosx=cosx
于是有A=0,B=1/2
∴ y"+y=cosx的一个特解是y=(1/2)xsinx
原运算完全正确!