关于二阶微分方程特解通解问题一般知道三个二阶非齐次微分方程的特解a,b,c,则可知其通解为C1(a-b)+C2(b-c)+a.(C1,C2为任意常数)那么,如果只知道两个特解a,b,如何求特解,看到您的答案是,通解为C1

Question

关于二阶微分方程特解通解问题
一般知道三个二阶非齐次微分方程的特解a,b,c,则可知其通解为C1(a-b)+C2(b-c)+a.(C1,C2为任意常数)
那么,如果只知道两个特解a,b,如何求特解,看到您的答案是,通解为C1a+C2b.我不太明白这个答案.
因为有道题是这样的.
已知一个二阶常系数非齐次微分方程的两个特解是y1=cos2x-xsin2x,y1=sin2x-xsin2x.求此微分方程.
直接由于题设得知方程的通解是：
y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x
这是怎么得出的啊?
还有一个问题,二阶齐次微分方程一定有两个线性无关的解吗?

Answer 1

你给的例子实际上是一种特殊情形,不具有一般性.
对于你给的这个例子,由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解,故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x