微分方程y′″-y″=3x2的特解形式为（）A．ax2+bx+cB．x（ax2+bx+c）C．x2（ax2+bx+c）+x+1D．（c1+c2x）（ax2+bx+c）

Question

微分方程y′″-y″=3x²的特解形式为（　　）

A．ax²+bx+c
B．x（ax²+bx+c）
C．x²（ax²+bx+c）+x+1
D．（c₁+c₂x）（ax²+bx+c）

Answer 1

①选项A．由y=ax²+bx+c，得y'=2ax+b，y''=2a，y'''=0，因此
y'''-y''=-2a≠3x²，故排除A．
②选项B．由y=x（ax²+bx+c），得y'=3ax²+2bx+c，y''=6ax+2b，y'''=6a，因此
y'''-y''=-6ax+6a-2b≠3x²，故排除B
③选项B．由y=x²（ax²+bx+c）+x+1，得y'=4ax³+3bx²+cx+1，y''=12ax²+6bx+c，y'''=24ax+6b，因此
y'''-y''=-12ax²+（24a-6b）x+6b-c，
此时，若-12ax²+（24a-6b）x+6b-c=3x²，则有
-12a=3，24a-6b=0，6b-c=0
可以解得：a＝−(1)/(4)，b=-1，c=-6
因此x²（ax²+bx+c）+x+1是微分方程的特解形式
故C正确
④选项D．由y＝(c1x+c2x)(ax2+bx+c)，得y′＝3ac2x2+2(ac1+bc2)x+(bc1+cc2)，y″＝6ac2x+2(ac1+bc2)，y″′＝6ac2，因此
y″′−y″＝−6ac2x+6ac2−2(ac1+bc2)≠3x2，故排除D
故选：C．