求dz/dx-z/x=-alnx的通解,

Question

求dz/dx-z/x=-alnx的通解,

Answer 1

这里就是一阶线性微分方程,
z' -(1/x) *z= -alnx
由通解公式就可以知道,
z=e^(∫1/x dx) *[∫ -alnx *(e^∫ -1/x dx) dx+C] C为常数
显然
∫1/x dx=lnx,那么e^(∫1/x dx)=x,(e^∫ -1/x dx)=1/x
所以
∫ -alnx *(e^∫ -1/x dx) dx
=∫ -alnx /x dx
=∫ -alnx d(lnx)
= -a/2 *(lnx)²
所以通解为
z= x * [-a/2 *(lnx)²+C]
= -ax/2 *(lnx)² +Cx ,C为常数