求微分方程通解dy/dx=1/(xcosy+sin2y)

Question

求微分方程通解 dy/dx=1/(xcosy+sin2y)

Answer 1

→dx/dy=xcosy+sin2y
dx/dy - xcosy = sin2y
这是x关于y的一阶线性方程,
积分因子μ=e^(-∫(-cosy )dy ) =e^(∫cosy dy)=e^siny
则x=μ·(∫(e^(-siny) · sin2y )dy +C)
=μ·(2∫(e^(-siny) · siny · cosy)dy +C)
=μ·(2∫(e^(-siny) · siny )d siny +C)
=μ·(-2∫ siny d e^(-siny) +C)
=μ·(2∫ (-siny) d e^(-siny) +C)
=μ·(-2siny · e^(-siny) - 2∫e^(-siny) d (-siny) +C)
=μ·(-2siny · e^(-siny) - 2e^(-siny) +C)
=e^siny·(-2siny · e^(-siny) - 2e^(-siny) +C)
= -2siny - 2 +C·e^siny
x = -2siny - 2 +C·e^siny