2y"-y=sin^2x求其通解

Question

2y"-y=sin^2x
求其通解

Answer 1

∵齐次方程2y"-y=0的特征方程是2r²-1=0,则r=±1/√2
∴齐次方程2y"-y=0的通解是y=C1e^(x/√2)+C2e^(-x/√2) (C1,C2是积分常数)
设原方程的一个解为y=Acos(2x)+Bsin(2x)+C
代入原方程得-9Acos(2x)-9Bsin(2x)-C=(1-cos(2x))/2
==>-9A=-1/2,-9B=0,-C=1/2
==>A=-1/18,B=0,C=-1/2
即原方程的一个解是y=-cos(2x)/18-1/2
故原方程的通解是y=C1e^(x/√2)+C2e^(-x/√2)-cos(2x)/18-1/2 (C1,C2是积分常数).