定积分的问题f(t)=ln(t^2+2tcosx+1)dx积分上限是π,下限是0请问如何证明f(t)是偶函数啊.

Question

定积分的问题
f(t)=ln(t^2+2tcosx+1)dx 积分上限是π,下限是0
请问如何证明f(t)是偶函数啊.

Answer 1

由题目f(t)=ln(t^2+2tcosx+1)dx,积分上限是π,下限是0.(1)
得到
f(-t)=ln(t^2-2tcosx+1)dx,积分上限是π,下限是0.(2)
设y=π+x,则
f(-t)=ln(t^2+2tcosx+1)dx,积分上限是0,下限是-π.(3)
考虑到积分是对x的,而且cosx的周期是关于x的偶函数,所以
f(t)=ln(t^2+2tcos(-x)+1)dx,积分上限是0,下限是-π.(4)(注意该式中是cos(-x))
(3)与(4)是相等的,所以f(t)=f(-t)
所以f(t)是关于t的偶函数