函数、积分、0值设函数f(x)在0,派上连续,且∫f(x)sinxdx=0,∫f(x)cosxdx=0两个式子的积分上下限均为0到派.证明：在（0,派）内f(x)至少有两个零点

Question

函数、积分、0值
设函数f(x)在【0,派】上连续,且∫f(x)sinxdx =0,∫f(x)cosxdx =0 两个式子的积分上下限均为0到派.证明：在（0,派）内f(x)至少有两个零点

Answer 1

用反证法（以下过程上下限均为0到π）
1、假设f(x)在【0,π】内无零点,即f(x)>0或者0,所以必有∫f(x)sinxdx>0(或者小于0）,与假设矛盾
2、假设f(x)在【0,π】内有一个零点,但f(x)不变号,证法同上条
3、假设f(x)在【0,π】内有一个零点,且f(x)改变一次号.设零点为a
所以在（0,a）与（a,π）内∫f(x)sinxdx不等于0 （证法同上）
又因为∫f(x)sin（x-a）dx=cosa∫f(x)sinxdx-sina∫f(x)cosxdx=0
所以f（x）不可能只有一个零点,至少两个
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