极限和广义微积分的两个题,1.若a为正数,求x从正无穷无限趋近于0时x^alogx的极限2.计算广义微积分∫logxdx/根号下x（上界是1,下界是0）的值书上写的就是x→+0呀是以e为底的都是以e为底的第

Question

极限和广义微积分的两个题,
1.若a为正数,求x从正无穷无限趋近于0时x^alogx的极限
2.计算广义微积分∫logxdx/根号下x （上界是1,下界是0）的值
书上写的就是x→+0呀 是以e为底的
都是以e为底的
第二个题会了，

Answer 1

第一题我姑且就当题目上是：x^(alnx),看下边那个题感觉这个题的难度应该不会太大,因为如果lnx在下边,这个题真的很难解,我都解到二元极限都没解出来……
设 y=lim x^(alnx) 此时做一个转化：e^(lny)=y
范围x趋近于+0略
e^(lny)
=lim e^[ln x^(alnx)]
=exp{lim a(lnx)^2}
因为x趋近于+0,则lnx趋近于-∞
所以原式=e^(-∞)=0
答案就是0
第二个分部积分就可以了
照你说的应该是：
∫lnx/(√x)dx
=∫lnx * x^(-1/2) dx
=2∫lnx * d[x^(1/2)]
=2[x^(1/2)lnx - ∫x^(1/2)d(lnx)]
=2[x^(1/2)lnx - ∫x^(-1/2)dx]
=2[x^(1/2)lnx - 2x^(1/2)]
到这里有你说的那个问题,我想可以这样解决.
设积分下限为：0+ε,ε趋近于0,这样解出来的结果和0的结果是一样的.积分求得就是函数与x轴围成图形的面积,由于x=0时无意义,这样可以用0+ε让其有意义,然后再进行计算出一个带有ε的式子,然后求一个ε趋近于0时的极限.