定义：若数列{an}满足对任意的n∈N*，2an+1＞an+an+2，且存在最小的上界S，使得an≤S，则称{an}为“S型”数列．（1）若正项等比数列{an}的前n项和为Tn，且a3=14，T3=74，试判断数列{Tn}是否为“S型

Question

定义：若数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，2a_n+1＞a_n+a_n+2，且存在最小的上界S，使得a_n≤S，则称{a_n}为“S型”数列．
（1）若正项等比数列{a_n}的前n项和为T_n，且a₃=(1)/(4)，T₃=(7)/(4)，试判断数列{T_n}是否为“S型”数列，并说明理由；
（2）若{a_n}为“S型”数列，且任意一项均不为S，求证：对任意的n∈N^*，a_n+1＞a_n．

Answer 1

（1）设正项等比数列{a_n}的首项为a₁，（a₁＞0）公比为q，（q＞0），
∵a₃=(1)/(4)，T₃=(7)/(4)，
∴q²a₁=(1)/(4)，a₁+a₁q+a₁q²=(7)/(4)，解得a₁=1，q=(1)/(2)，
从而T_n=2（1-(1)/(2n)），
∵2T_n+1-T_n-T_n+2=4（1-(1)/(2n+1)）-2（1-(1)/(2n)）-2（1-(1)/(2n+2)）=(1)/(2n+1)＞0，
∴2T_n+1＞T_n+T_n+2．
∵T_n=2（1-(1)/(2n)）随n的增加而增大，故T_n∈[1，2），
∴存在最小的上届S=2，使a_n≤S，
综上数列{T_n}是“S型”数列．
（2）假设存在n₀∈N^*，使得an0+1≤a n0，
∵对任意的n∈N^*，2a_n+1＞a_n+a_n+2，
∴对任意的n∈N^*，2an0+1＞an0+an0+2，
从而an0+2-an0+1＜an0+1-an0≤0，
故当n≥n₀时，总有a_n+1＜a_n．
又在a₁，a₂．…an0中一定存在一个最大的项，依据题意，此项必为S，这与{a_n}中任意一项均不为S矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立．