数列证明证明1+1/2+1/3+1/4+……1/n有界那证证它无界?

Question

数列证明
证明1+1/2+1/3+1/4+……1/n有界
那证证它无界?

Answer 1

运用柯西收敛准则证明较为容易
设数列{an},an = 1 + 1/2 + ...+ 1/n,假设an收敛,则必满足柯西收敛准则（充要）
则由柯西收敛准则,对任意给定的ε>0,有一正整数N,当m,n>N时,有|an-am| 1/n+p + 1/n+p + ...+ 1/n+p = p/n+p
不妨取p=n,则有|an - am| > p/(n+p) = 1/2,这与柯西收敛条件矛盾（取ε < 1/2即可）
因此假设不成立,an发散,an无界