若一个函数的导函数在有限区间上有界,则该函数也在此区间上有界,

Question

若一个函数的导函数在有限区间上有界,则该函数也在此区间上有界,

Answer 1

是的.
设区间为 (a,b),|f'(ξ)|≤M
任取x0∈ (a,b),则对于此区间内任一点x,根据拉格朗日中值定理
存在ξ∈ (a,b)
|f(x)-f(x0)|=|f'(ξ)·(x-x0)|