关于无穷大的一个问题设想有一个旅馆,其房间的数量和实数一样多,那么:每个房间都住上一个客人后,(1)再来有限个客人,能否全部入住?(2)再来有自然数那么多的客人,能否全部入住?(3)再来有

Question

关于无穷大的一个问题
设想有一个旅馆,其房间的数量和实数一样多,那么:
每个房间都住上一个客人后,(1)再来有限个客人,能否全部入住?(2)再来有自然数那么多的客人,能否全部入住?(3)再来有实数那么多的客人,能否全部入住?(4)和复数一样多的客人是否无法全部入住这家旅馆?给出证明.
我也感觉第4个住不进去，拜托具体说明一下是怎么有富裕的，不要拿实数理论这么玄的搪塞

Answer 1

对每一个房间编号,编号即为实数值
（1）可以找到相应的房间安排
（2）也可以找到
（3）可以找到
（4）证明如下：
在二维平面中可以找到复数的每一个点,只要证明对任意面积的复数区域中的每一个点都能依次在实数轴上找到相应的编号即可
不妨设 所选区域为a*b的矩形（即从（0,0）到（a,b））
对于长度为a的边缘,显然可以找到相应的实数轴位置（0-a）
现在选取平行于这条边缘的线段,即纵坐标为a+c,c趋近于0,显然也可以在（a+1,2a+1）上找到相应的位置
依次下去,每一条线段都可以找到,直至覆盖整个所选区域
因此对任意选定的面积的每一个点均可以在复数轴上找到相应的编号位置
因此就算面积无限大时,也能做到
现在对上面有的答案提出以下疑义
无限大和无限大不能直接比较大小
就比如实数轴上（a,b）区间肯定比（a,b+1）小,但是两个区间的点数无法相比,都是无限大,不能因为对于第一个区间的每一个点,都能在第二个区间找到就说第一个区间点数少.无限的概念只有阶数,没有大小,因此有些无限可以作乘除,但是不能作加减