证明一个集合可数.实数集合S满足如下条件：对S中任意一个单调子列,这个子列都无界.证明,S是可数的.

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证明一个集合可数.
实数集合S满足如下条件：对S中任意一个单调子列,这个子列都无界.
证明,S是可数的.

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答案和解析

原问题等价于“任意不可数实数集S,必存在单调有界子列”
这个不难构造.在S中任取两点A,B,把数轴上属于S的点分为3部分.如果中间的线段有无限多个点属于S,则由“有界无穷点列必存在收敛子列”命题得证；否则,中间的线段有有限个S的点,则两边的射线必至少有一条有无穷多点属于S,不妨设为右边.再另取属于S的一点C,如果BC间有无穷个S的点,命题得证；否则可以再在右边取一点D……可以这样一直取下去,直到某两点间有无穷多S的点.这个过程必在某点结束而不会无限进行下去,否则S就是可数个有限集合的并,也就是可数,矛盾.

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