急函数g(x)=ax^3+2(1-a)x^2-3ax在区间(-无穷,a/3)内单调递减,则a的取值范围是?

Question

急
函数g(x)=ax^3+2(1-a)x^2-3ax在区间(-无穷,a/3)内单调递减,则a的取值范围是?

Answer 1

g(x)在(-∞,a/3)上单调递减,说明在这个区间上函数的导数都是小于等于零的,也就是说,在这个区间上,导函数g'(x)的最大值小于等于零.
g(x) = ax³ + 2(1 - a)x² - 3ax
g'(x) = 3ax² + 4(1 - a)x - 3a = 3a[ x + 2(1-a)/3a ]² - 3a - 4(1 - a)²/3a (a ≠ 0)
①当 a > 0 时,显然g'(x)是一个开口向上的抛物线,不管a为多少,它在(-∞,a/3)没有最大值,因此a > 0不合题意,舍去.
②当 a < 0 时,g'(x)是一个开口向下的抛物线,它的对称轴为 x = 2(a - 1)/3a
由a/3 ≤ 2(a - 1)/3a ,a² ≥ 2a - 2,a² - 2a + 2 ≥ 0,恒成立
结合前提条件可得 a < 0,此时,(-∞,a/3)是g'(x)的递增区间内
此时g'(x)的最大值为g'(a/3) = a³/3 - 4a²/3 - 5a/3 ≤ 0
解得 a ≤ -1 或 a ≥ 5（舍去）
③当 a = 0 时,g(x) = 2x² ,g'(x) = 4x
g'(x)在区间(-∞,0)上恒小于零,满足题意.
综上可知a的取值范围为a≤-1或a=0
1147243576求的结论是错误的,比方说a=3
g(x) = 3x³ - 4x² - 9x
g'(x) = 9x² - 8x - 9
区间为(-∞,1)
取x = -1,可得g'(x) = 8 ＞ 0
不满足导函数小于零的条件.