已知函数f(x)=ex，g(x)=ax，a为实常数．（1）设F（x）=f（x）-g（x），当a>0时，求函数F（x）的单调区间；（2）当a=-e时，直线x=m、x=n（m>0，n>0）与函数f（x）、g（x）的图象一共有四个不

Question

已知函数f(x)=ex，g(x)=(a)/(x)，a为实常数．
（1）设F（x）=f（x）-g（x），当a>0时，求函数F（x）的单调区间；
（2）当a=-e时，直线x=m、x=n（m>0，n>0）与函数f（x）、g（x）的图象一共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形．
求证：（m-1）（n-1）<0．

Answer 1

（1）F(x)=ex-(a)/(x)，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
而F′(x)=ex+(a)/(x2)，
当a>0时，F'（x）>0，
故F（x）的单调递增区间为（-∞，0），（0，+∞），无单调递减区间．                       
（2）证明：因为直线x=m与x=n平行，
故该四边形为平行四边形等价于f（m）-g（m）=f（n）-g（n）且m>0，n>0．
当a=-e时，F(x)=f(x)-g(x)=ex+(e)/(x)(x>0)，
则F′(x)=ex-(e)/(x2)．令g(x)=F′(x)=ex-(e)/(x2)，
则 g′(x)=ex+(2e)/(x3)>0，
故F′(x)=ex-(e)/(x2)在（0．+∞）上单调递增；                                      
而F′(1)=e-(e)/(12)=0，
故x∈（0，1）时F'（x）<0，F（x）单调递减；x∈（1，+∞）时F'（x）>0，F（x）单调递增；
而F（m）=F（n），
故0<m<1<n，或0<n<1<m，
所以（m-1）（n-1）<0．