二维均匀分布中面积的计算设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e的平方围成,二维随机变量（X,Y）在区域D上服从均匀分布,则（X,Y）关于X的边缘概率密度在x=2的值为多少?特别是面积的计算过

Question

二维均匀分布中面积的计算
设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e的平方围成,二维随机变量（X,Y）在区域D上服从均匀分布,则（X,Y）关于X的边缘概率密度在x=2的值为多少?特别是面积的计算过程!
经您这么一解释，我明白了许多，面积的计算只要在X,Y的区域内积分即可，是不是可以这样理解？并不需要计算几何面积？至于1:e和0:1是积分区间，一时没有看懂！还想问几个问题1、e的负（x+2y）次方的积分，x>0,y>0这也是困扰这很长时间的问题！2、2ye^-2y（2y乘以e的负2y次幂）在0到正无穷的积分是多少？我在用凑微分法时解不出书上给的答案！希望再次得到您的帮助！

Answer 1

首先计算区域D的面积：(注：{积分区域a:b})
S(D)=∬{D}dxdy = ∫{1:e}dx ∫{0:1/x}dy
=∫{1:e}dx/x
=ln(e)-ln(1)
=1
而二维均匀分布的概率密度：
p(x,y)=1/S(D) =1,当(x,y)∈D；
p(x,y) = 0,(x,y)∉D
X边缘概率密度：
P(x)=∫{0,1/x}p(x,y)dy=∫{0,1/x}dy=1/x
x=2时:P(2)=1/2
∬{D}表示的是在区域D内的二重积分
∫{1:e}表示的是x的积分从1积到e,后面∫{0:1/x}表示的是y的积分从0积到1/x.
先算后面的y的积分,∫dy =y |(y=0到y=1/x)=1/x -0=1/x
所以原式= (x从1积到e) ∫(1/x)dx = lnx |(x=1到x=e) = lne - ln1 =1
就得出来了.
2.15答：
”面积的计算只要在X,Y的区域内积分即可“,完全正确.
积分区间不是0:1,而是(1/x),也就是x的负一次方!
y先积,由0到 (1/x) .这是由区域D在y方向上的范围决定的,下边界是y=0,上边界就是y=(1/x),所以在y方向上的积分是从0至 (1/x)的!在积出了y后再对x进行积分,x的边界就是左1右e了,所以积分是由1到e的.
1.x>0,y>0
∬e^(-x-2y) dxdy = ∫e^(-x)dx ∫e^(-2y)dy
=∫e^(-x)dx ∫e^(-2y)dy
其中
∫e^(-2y)dy = (-1/2)e^(-2y) |（y=0,至y=+∞）=(-1/2)(0-1)=1/2.
∫e^(-x)dx = - e^(-x) |（x=0,至x=+∞）=-(0-1)=1
所以原式=∫e^(-x)dx ∫e^(-2y)dy=(1/2)∫e^(-x)dx =1/2.
2、∫2y*e^(-2y) dy
这样作代换：t= -2y
那么积分区域也变为：0到-∞
∫2y*e^(-2y) dy = ∫(-t)e^t d(-t/2)
=(-1/2)∫(-t)e^t dt
=(1/2) ∫t*e^t dt =(1/2) ∫t d(e^t)
由分部积分公式:∫udv = uv - ∫vdu
原式= (1/2) ∫t d(e^t)
=(1/2)*[te^t |(0到-∞) - ∫e^t dt ]
=(1/2)*[0-0- (e^t |(0到-∞))]
=(1/2)*[0-(0-1)]
=1/2