你的回答很好,我问几个连续可导的问题吧?你当时说：很多人只是知道可导必然连续,连续不一定可导,像背口诀一样,但还是没有理解背后的逻辑.1.复习全书上,函数在某点可导,跟函数在某点空

Question

你的回答很好,我问几个连续可导的问题吧?
你当时说：很多人只是知道可导必然连续,连续不一定可导,像背口诀一样,但还是没有理解背后的逻辑.
1.复习全书上,函数在某点可导,跟函数在某点空心邻域内可导或者说某点邻域内可导不一样?为什么不一样,函数在某点可导,不是在X邻域内有定义么?那函数在某邻域内可导是在哪里有定义啊?
2.函数在某点连续（f 在该点的邻域内有定义）,和在某点的邻域内连续一样么?这么多邻域,这么多有定义,好搞呢.
3.右导数和导数的右极限有什么区别?
4.在分段函数求导法中,设函数f在xo 的空心邻域内可导且f在xo处连续,若存在（x→xo）,f的导数的极限=A,则f在xo处的导数等于A.这个怎么通俗理解?也就是导数和导数的极限的区别吧.
5.罗尔定理要求在闭区间上连续,开区间上可导,如何判断该点在端点连续?有些人回答说连续只在一个区间或邻域内里讨论,讨论端点连续没意意义,端点只有左连续或右连续..那我们干嘛不在闭区间上讨论可导呢?在某点处可导不是也要在一个邻域内讨论么?因为端点处也存在左导数或右导数呀
问题有点多,我感觉自己有点钻牛角尖.不过困扰好久了~真心希望你能给我解答.

Answer 1

1.当然不一样.你说的没错,函数在某点可导,就暗示了在该点附近有定义,但这并不意味着函数在这个邻域内的所有点都可导.我给你举个不常见的例子.设函数f(x)这样取值：当x是无理数的时候,f(x)总是为零；x是有理数的时候,如果设x = p/q,p,q 都是整数,那么f(x)=p/q^2.可以证明这个函数在x=0是可导的,导数为零,但是在0的任何一个邻域内,只要x不等于0,函数在x这点就不可导.具体证明有些复杂,但基本的想法是,观察：
[ f(x)-f(0) ] / (x-0) = f(x)/x,
这个比例等于 1/q,如果x是有理数；等于0,如果x是无理数.当x无限趋近于0的时候,如果x全都是有理数这种方式趋近,由于每个有理数都表示为p/q这种形式,所以要趋于零,q必须趋于无穷大,此时f(x)/x = 1/q 就趋于零,恰好是上面说的导数为零；如果x全都是以无理数这种方式趋近,由于f(x)总是为零,那么上面这个比例的极限就自然为零.所以无论你以如何方式趋近于零,上面这个比例总是会趋于0的,因此函数在0点可导,导数为零.
同时,这个函数在所有的非零有理数点都是不连续的,而任何一个0的领域内都必然包含非零有理数点,所以这个函数在0的任何一个邻域内都不能说可导.所以点可导和邻域可导,对这个函数而言不是等价的：在0点可导,但在0的邻域内不可导.这也不违背可导必然连续的常识,因为这个常识是说,如果在某点可导,那么在某点连续；如果邻域可导,那么邻域连续.这个函数的确是在x=0连续的,你自己可以验证.
函数在某邻域内可导,当然暗示函数必须在这个邻域内所有点都有定义了.
2.这个也用上面这个例子搞定.含义是不一样的,f(x)在x=0连续,但在0的任何一个邻域内,不管多大多小,都不是连续的,因为总会在这个邻域内找到一个不连续点.
3.这个也是有区别的.如果导函数连续,那这两个显然是相等的,问题在于导函数不连续的情况.区分这个就一定要牢记定义,定义不清楚的话后面做什么都白搭.设
f(x) = 1,如果 x 0
这是一个分段函数,而且在0这点显然不连续.但我们照样还是可以按照定义去求0点的导数右极限以及右导数的：
1）导数右极限：
x>0这段上,导函数是 f'(x) = 3,那么取极限：
lim (x从大于0处趋于0) f'(x) = 3；
2）右导数：
严格按照导数定义来,右导数是：
lim (x从大于0处趋于0) [ f(x) - f(0) ] / (x-0)
= lim (x从大于0处趋于0) [ 3x - 1 ] / (x-0) (注意,大于0处f(x) = 3x,但f(0)必须代入第一段)
= 无穷大
所以,导数右极限 不等于 右导数.虽然99%的考研题都不会涉及这种细微的差别,许多人也喜欢用先求导然后带数这种办法来求导数,但是心里还是要知道这么做都是有条件的.像这里,你如果先求导f'(x) = 3,然后代入x=0,然后说在0这点右导数是3,就显然错误了.
4.说条件,条件就来了.这个定理就告诉你,想像上面这么省事的求某点的导数吗?有个条件,就是函数必须在这点连续.其实这个直觉非常简单,什么情况下导数和导数极限不同?根据定义式,无非就是连接(x,f(x))和(x0,f(x0))这条直线的斜率在x趋于x0时突然有很大的变化时,才会发生这种情况.而如果函数在这点连续了,那么无论你怎么画这条直线,它的斜率的极限都是会渐渐逼近这点的导数的.反过来,像上面这个例子,函数在0点不连续,你自己可以画一画0右边的点和(0,f(0))这点的连线,随着x从右边逼近0,这个连线越来越垂直,也就是说斜率发生了突然的很大的变化,原因就在于函数在0这点不连续：函数值出现了跳跃,导致连线斜率也发生了跳跃,从而导函数的极限就不等于导数了.如果f(0)=0,函数值不跳,那斜率也自然不会跳,导数=3,也正好等于导数的极限.
5.端点连续当然有意义了,怎么会没有意义.端点连续就是存在单边的极限就可以了,这就是定义,判断也用这个判断：左端点连续等价于左端点函数值等于函数右极限,右端点连续等价于右端点函数值等于函数左极限.
至于端点可导的定义,也是一样的.只不过我们习惯说在邻域内可导,不说闭区间而已.如果一个函数在闭区间都可导了,那开区间就更不用说了.一般作为数学定理,我们都想用尽可能少的条件推出尽可能多的结论,既然开区间可导就足够推出我们需要的结果,为何还要把条件设定成更加强的闭区间可导呢?
记住,讨论某点的可导性,只要该点在函数定义域的内部,不是端点,就是在完整的邻域内讨论可导性；如果该点是端点,那么就讨论单边邻域的可导性,也就是左导数或者右导数.