二元函数求教设函数f（x,y）在点（x0,y0）的某邻域内两个偏导数存在且有界,证明f（x,y）在点（x0,y0）连续.

Question

二元函数求教
设函数f（x,y）在点（x0,y0）的某邻域内两个偏导数存在且有界,证明f（x,y）在点（x0,y0）连续.

Answer 1

证明：严格按照定义证,没什么好说的.连续就是证明如下极限：
lim (x趋于x0,y趋于y0) f(x,y) = f(x0,y0),
就是对任意epsilon > 0,存在(x0,y0)的一个邻域,对在这个邻域内的任意点(x,y),都有
|f(x,y) - f(x0,y0)| < epsilon.找到这个邻域即可.现在变形,利用三角不等式：
|f(x,y) - f(x0,y0)| = |f(x,y) - f(x,y0) + f(x,y0) - f(x0,y0)| 0,我只要取 (x0,y0)的邻域为
{(x,y)| (x-x0)^2 + (y-y0)^2 < [min (delta1,delta2)/2]^2 }即可,其中
delta1和delta2是上述 x 和y的邻域半径.
证毕.