如果f（x）在x0的某邻域内可导，且limx→x0f′(x)x-x0=12，证明：f（x）在点x0处取极小值．

Question

如果f（x）在x₀的某邻域内可导，且

lim

x→x0

(f′(x))/(x-x0)=(1)/(2)，
证明：f（x）在点x₀处取极小值．

Answer 1

证明：由

lim

x→x0

(f′(x))/(x-x0)=(1)/(2)>0，∃δ>0，使得当0<|x-x₀|<δ时，(f′(x))/(x-x0)>0，
从而当0<x-x₀<δ时，f'（x）>0，函数f（x）在该区域单调增加；
当-δ<x-x₀<0时，f'（x）<0，函数f（x）在该区域单调减小；
即f（x）在x₀的左领域上递减，在x₀的右邻域上递增，
所以，f（x）在点x₀处取得极小值．