微积分和无穷大的问题当limx→∞时,(x+1)/x^2用微积分的方法求极限,应该等于0吧?也就是说当x取无穷大时,x^2》x+1可是我们可以把它形象为一条直线上点的个数和一个平面内点的个数哪一个多的

Question

微积分和无穷大的问题
当limx→∞时,(x+1)/x^2用微积分的方法求极限,应该等于0吧?也就是说当x取无穷大时,x^2》x+1可是我们可以把它形象为一条直线上点的个数和一个平面内点的个数哪一个多的问题.根据康托尔比较无穷大的方法,可以把平面内点用坐标表示,如果点坐标为（0.2468,0.1357）,可以把它对应为数字0.21436587,这样平面上点就可以和直线上点一一对应了,那么他们就相等、.事实上直线上、平面上、空间里的点的数目都相等,那么转化成数学语言就是当x等于正无穷时,x=x^2=x^3=……=x^n,可如果微积分求极限这样算,是不合理的.究竟是两个理论的适用范围不同,导致的这样的差别,还是由于数学上的某些悖论?

Answer 1

集合的基数,和这里的无穷不是同一个概念.
基数并不是实实在在的数.
而说到极限中的无穷,我们总是把它看成一个数.这也是为什么在实变函数论中我们扩充实数集合的时候把无穷也当成一个元素来看待.
把x换成1/x,上面的问题就变成比较无穷小的阶数了,再从最基本的极限定义出发,我们就得到0这个结果.
柯西和魏尔斯特拉斯将分析严格化的一个重要原因也是因为要比较无穷小的阶数.