设P.Q为三角形ABC内两点,且向量AP=2/5AB+1/5AC,向量AQ=2/3AB+1/3AC则⊿ABP的面积与⊿ABQ的面积之比

Question

设P.Q为三角形ABC内两点,且向量AP=2/5AB+1/5AC,向量AQ=2/3AB+1/3AC则⊿ABP的面积与⊿ABQ的面积之比

Answer 1

连接 AP、AQ, 并分别延长交 BC 于 D、E .

由 AP=2/5*AB+1/5*AC=3/5*(2/3*AB+1/3*AC) 知,AP=3/5*AD ,且 AD=2/3*AB+1/3*AC ,

同理,AQ=11/12*AE ,且 AE=8/11*AB+3/11*AC .

设三角形 ABC 的面积 SABC=S ,

则由 BD=AD-AB=1/3*(AC-AB)=1/3*BC ,BE=AE-AB=3/11*(AC-AB)=3/11*BC 

得 SABD=1/3*S ,SABE=3/11*S ,

由于 SABP=3/5*SABD=1/5*S ,SABQ=11/12*SABE=1/4*S ,

所以 SABP：SABQ=(1/5)：(1/4)=4：5 .