已知△ABC在平面α内点P平面αPA=PB=PC=a∠BPC=β∠APC=γ∠APB=θ且cosβ+cosγ=1+cosθ.(1)求证:平面PAB⊥α;(2)设PA中点为MP在α上的射影为OO在AC上的射影为N求证:平面OMN∥平面PBC.

Question

已知△ABC在平面α内 点P 平面α PA=PB=PC=a ∠BPC=β ∠APC=γ ∠APB=θ且cosβ+cosγ=1+cosθ.

(1)求证:平面PAB⊥α;

(2)设PA中点为M P在α上的射影为O O在AC上的射影为N 求证:平面OMN∥平面PBC.

Answer 1

剖析:(1)由于PA=PB=PC 我们寻找与平面α垂直的直线;(2)利用面面平行的判定定理 证平面OMN中有两条相交直线平行于平面PBC.

证明:(1)由cosβ+cosγ=1+cosθ及余弦定理可得 BC ² +AC ² =AB ² 即∠ACB=90°.

    又由PA=PB=PC可知 线段PA、PB、PC在平面α上的射影长也相等 因此 P在α上的射影应是△ABC的外心 即斜边AB的中点O 连结PO 则PO⊥α 而PO平面PAB ∴平面PAB⊥α.

    (2)∵PA=PB PO⊥AB ∴AO=OB.

    又ON⊥AC BC⊥AC

    ∴ON∥BC.∴ON∥平面PBC.

    又OM为△PAB的中位线

    ∴OM∥PB.∴OM∥平面PBC.

    而OM、ON是平面OMN内两条相交直线

    ∴平面OMN∥平面PBC.

讲评:要熟练掌握射影与三角形心的关系:设平面ABC外一点P在其上的射影为O 若P到三顶点距离相等 则O是外心;若P到三边距离相等 则O是内心;若两组对棱分别垂直 则O是垂心.