在现代科学实验室中，经常用磁场来控制带电粒子的运动．某仪器的内部结构简化如图：宽度为L的Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距也为L，磁场方向相反且垂直于纸面．一质量

Question

在现代科学实验室中，经常用磁场来控制带电粒子的运动．某仪器的内部结构简化如图：宽度为L的Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距也为L，磁场方向相反且垂直于纸面．一质量为m、电量为-q（重力不计）的粒子以速度v平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平方向夹角θ=30°．

（1）当B₁=B₀时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与竖直边界方向夹角为60°，求B₀及粒子在Ⅰ区运动的时间t．
（2）若B₁=B₀，为使粒子经Ⅱ区恰能返回Ⅰ区，则B₂与Ⅱ区的宽度x之间应满足什么函数关系？

Answer 1

（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示：

由几何知识得：L=2R₁sinθ，
由牛顿第二定律得：qvB₀=m (v2)/(R1)，
解得：B₀=(mv)/(qL)；
设粒子在磁场Ⅰ区中做圆周运动的周期：T=(2πR1)/(v)=(2πL)/(v)，
粒子的运动的时间：t=(2θ)/(360°)T=(2×30°)/(360°)T=(πL)/(3v)；
（2）粒子恰好能能返回1区时的运动轨迹如图所示：

为使粒子能再次回到Ⅰ区，应满足：
R₂（1+sinθ）≤x，
由牛顿第二定律得：qvB₂=m (v2)/(R2)，
由题意可知：B₂=B₁=B₀，解得：B₂≥(3mv)/(2qx)；
答：（1）当1区磁感应强度大小B₁=B₀时，粒子从1区右边界射出时速度与竖直边界方向夹角为60°，B₀为 (mv)/(qL)，粒子在Ⅰ区运动的时间t为 (πL)/(3v)．
（2）若B₁=B₀，为使粒子能返回1区，B₂应满足的条件是B₂≥(3mv)/(2qx)．