如图甲所示，ABCD为一足够长的光滑绝缘斜面，EFGH范围内存在方向垂直斜面的匀强磁场，磁场边界EF、HG与斜面底边AB平行．一正方向金属框abcd放在斜面上，ab边平行于磁场边界．现使金属框

Question

如图甲所示，ABCD为一足够长的光滑绝缘斜面，EFGH范围内存在方向垂直斜面的匀强磁场，磁场边界EF、HG与斜面底边AB平行．一正方向金属框abcd放在斜面上，ab边平行于磁场边界．现使金属框从斜面上某处由静止释放，金属框从开始运动到cd边离开磁场的过程中，其运动的v-t图象如图乙所示．已知金属框电阻为R，质量为m，重力加速度为g，图乙中金属框运动的各个时刻及对应的速度均为已知量，求：

（1）斜面倾角的正弦值和磁场区域的宽度d；
（2）金属框cd边到达磁场边界EF前瞬间的加速度；
（3）金属框穿过磁场过程中产生的焦耳热Q．

Answer 1

（1）由图乙可知，在0～t₁时间内金属框运动的加速度
            a₁=(v1)/(t1)
         设斜面的倾角θ，由牛顿第二定律有  a₁=gsinθ
            解得  sinθ=(v1)/(gt1)
        在t₁～2t₁时间内金属框匀速进入磁场，则  l₀=v₁t₁
        在2t₁～3t₁时间内，金属框运动位移  s=(3v1t1)/(2)
        则磁场的宽度  d=l₀+s=(5v1t1)/(2)
（2）在t₂时刻金属框cd边到达EF边界时的速度为v₂，设此时加速度大小为a₂，
     cd边切割磁场产生的电动势   E=Bl₀v₂         
      受到的安培力   F＝(BEl0)/(R)
     由牛顿第二定律  F-mgsinθ=ma₂
     金属框进入磁场时  mgsinθ＝(B2v12l0)/(R)   
          解得  a₂=(v2−v1)/(t1)
     加速度方向沿斜面向上．
（3）金属框从t₁时刻进入磁场到t₂时刻离开磁场的过程中，由功能关系得mg(d+l0)•sinθ＝(1)/(2)m

v

2 2

−(1)/(2)m

v

2 1

+Q
           解得  Q＝4m

v

2 1

−(1)/(2)m

v

2 2

答：（1）斜面倾角的正弦值等于(v1)/(gt1)，磁场区域的宽度s=(5v1t1)/(2)；
    （2）金属框cd边到达磁场边界EF前瞬间的加速度大小为(v2−v1)/(t1)，方向沿斜面向上．
    （3）金属框穿过磁场过程中产生的焦耳热 Q＝4m

v

2 1

−(1)/(2)m

v

2 2

．